数学中的排列组合

Q1： 数学排列组合公式都有哪些

排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示。

计算公式：

此外规定0!=1(n!表示n(n-1)(n-2)...1,也就是6！=6x5x4x3x2x1[1]

组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。

计算公式：

；C(n,m)=C(n,n-m）。（n≥m)

其他排列与组合公式 从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1！×n2！×...×nk!). k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C(m+k-1,m）。

符号

常见的一道题目

C-Combination组合数[2]

A-Arrangement排列数（在旧教材为P-Permutation）

N-元素的总个数

M-参与选择的元素个数

！-阶乘

基本计数原理

⑴加法原理和分类计数法

⒈加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在

组合恒等式(2张)

第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

⒉第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。

⒊分类的要求 ：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。

⑵乘法原理和分步计数法

⒈乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。

⒉合理分步的要求

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

3.与后来的离散型随机变量也有密切相关。

组合数的奇偶

奇偶定义：对组合数C(n,k)(n>=k）：将n,k分别化为二进制，若某二进制位对应的n为0，而k为1 ，则C(n,k）为偶数；否则为奇数。

下面是判定方法：

结论：

对于C(n,k），若n&k == k 则c(n,k）为奇数，否则为偶数。

证明：

对于C(n,k），若n&k == k 则c(n,k）为奇数，否则为偶数。

证明：

利用数学归纳法：

由C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1）；

对应于杨辉三角：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

………………

可以验证前面几层及k = 0时满足结论，下面证明在C(n-1,k）和C(n-1,k-1) (k > 0) 满足结论的情况下，

C(n,k）满足结论。

1）.假设C(n-1,k）和C(n-1,k-1）为奇数：

则有：（n-1）&k == k;

（n-1）&(k-1） == k-1;

由于k和k-1的最后一位（在这里的位指的是二进制的位，下同）必然是不同的，所以n-1的最后一位必然是1

。

现假设n&k == k。

则同样因为n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。

因为n-1的最后一位是1，则n的最后一位是0，所以n&k != k，与假设矛盾。

所以得n&k != k。

2）.假设C(n-1,k）和C(n-1,k-1）为偶数：

则有：（n-1）&k != k;

（n-1）&(k-1） != k-1;

现假设n&k == k.

则对于k最后一位为1的情况：

此时n最后一位也为1，所以有（n-1）&(k-1） == k-1，与假设矛盾。

而对于k最后一位为0的情况：

则k的末尾必有一部分形如：10; 代表任意个0。

相应的，n对应的部分为：1{*}*; *代表0或1。

而若n对应的{*}*中只要有一个为1，则（n-1）&k == k成立，所以n对应部分也应该是10。

则相应的，k-1和n-1的末尾部分均为01，所以（n-1）&(k-1） == k-1 成立，与假设矛盾。

所以得n&k != k。

由1）和2）得出当C(n,k）是偶数时，n&k != k。

3）.假设C(n-1,k）为奇数而C(n-1,k-1）为偶数：

则有：（n-1）&k == k;

（n-1）&(k-1） != k-1;

显然，k的最后一位只能是0，否则由（n-1）&k == k即可推出（n-1）&(k-1） == k-1。

所以k的末尾必有一部分形如：10;

相应的，n-1的对应部分为：1{*}*;

相应的，k-1的对应部分为：01;

则若要使得（n-1）&(k-1） != k-1 则要求n-1对应的{*}*中至少有一个是0.

所以n的对应部分也就为 ：1{*}*; （不会因为进位变1为0)

所以 n&k = k。

4）.假设C(n-1,k）为偶数而C(n-1,k-1）为奇数：

则有：（n-1）&k != k;

（n-1）&(k-1） == k-1;

分两种情况：

当k-1的最后一位为0时：

则k-1的末尾必有一部分形如：10;

相应的，k的对应部分为 : 11;

相应的，n-1的对应部分为 : 1{*}0; （若为1{*}1，则（n-1）&k == k)

相应的，n的对应部分为 : 1{*}1;

所以n&k = k。

当k-1的最后一位为1时：

则k-1的末尾必有一部分形如：01; （前面的0可以是附加上去的）

相应的，k的对应部分为 : 10;

相应的，n-1的对应部分为 : 01; （若为11，则（n-1）&k == k)

相应的，n的对应部分为 : 10;

所以n&k = k。

由3），4）得出当C(n,k）为奇数时，n&k = k。

综上，结论得证。

向左转|向右转

向左转|向右转

向左转|向右转

向左转|向右转

Q2： 数学中的排列组合是什么意思

排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。 排列组合与古典概率论关系密切。

Q3： 高中数学中的组合和排列怎么区分

所谓的排列是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素再进行排序。组合就是指从给定个数的元素中仅仅在取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。 从n个人里任意找出m(m<=n)个人，并让他们任意排成一行，求有中国种不同的队形，这是求排列。 从n个人里任意找出m(m<=n)个人，令他们组合成一个组，求有中国种不同的组，这是求组合。 总体说来： 考虑排列顺序的，就是排列； 不考虑排列顺序的，就是组合。 排列就是先组合再排序 举个例子 就是从26个字母中选5个 排列的话就是A（26,5）表示的是从26个字母中选5个排成一列 也就是说ABCDE与ACBDE与ADBCE等这些是不一样的 组合的话就是C（26,5）表示的是从26个字母中选5个没有顺序 也就是说ABCDE与ACBDE与ADBCE等这些是一样

Q4： 高中数学，排列组合

这是一错排问题。
D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]
特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.
D1=0
D2=1
D3=2*(0+1)=2
D4=3*(1+2)=9
D5=4*(2+9)=44
D6=5*(9+44)=265
D7=6*(44+265)=1854
D8=7(265+185)=14833
D9=8*(1854+14833)=133496

Q5： 高中数学：排列组合公式/排列组合计算公式

为什么要除以(n-m)!？

不好意思，昨天没有回复。

Q6： 数学中的搭配排列数和组合数有什么区别

从n个不同的元素中，取出k个元素，排列数与元素的排列顺序有关，比如从1,2,3中取出两个数，排列的方式(1，2)和（2，1）是不同的；但是组合数与这无关，认为（1，2）和（2，1）是同样的组合。
具体点说，还是上述例子，排列方式为
(1，2）、（2，1）；（1，3）、（3，1）；（2，3）、（3，2）有6种排列方式，排列数=6
但是组合方式只有3种，即组合数为3