初二勾股定理证明方法
勾股定理的证明方法图
Q1: 勾股定理的证明方法
勾股定理现约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。“勾三,股四,弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。
欧几里得证法
在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。
在这个定理的证明中,我们需要如下四个辅助定理:
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS)
三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。
任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。
欧几里得证法 (2张)
证明的思路为:从A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,把上方的两个正方形,通过等高同底的三角形,以其面积关系,转换成下方两个同等面积的长方形。
设△ABC为一直角三角形,其直角为∠CAB。
其边为BC、AB和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
画出过点A之BD、CE的平行线,分别垂直BC和DE于K、L。
分别连接CF、AD,形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G共线,同理可证B、A和H共线。
∠CBD和∠FBA都是直角,所以∠ABD=∠FBC。
因为AB=FB,BD=BC,所以△ABD≌△FBC。
因为A与K和L在同一直线上,所以四边形BDLK=2△ABD。
因为C、A和G在同一直线上,所以正方形BAGF=2△FBC。
因此四边形BDLK=BAGF=AB²。
同理可证,四边形CKLE=ACIH=AC²。
把这两个结果相加,AB²+AC²=BD×BK+KL×KC
由于BD=KL,BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
由于CBDE是个正方形,因此AB²+AC²=BC²,即a²+b²=c²。
Q2: 最简单的勾股定理的证明方法是什么?
利用射影定理:
已知:△ABC是直角三角形,∠C=90°。
求证:AC05+BC05=AB05
证明:过点C作CD⊥AB,垂足为D,则AD、BD分别是AC、BC在斜边AB上的射影。
由射影定理可得:
AC05=AD・AB, BC05=BD・AB
∴AC05+BC05=AD・AB +BD・AB=AB・(AD+BD)=AB05
Q4: (初二数学)利用下图证明勾股定理
梯形面积公式算总面积
再用三个三角形面积公式算总面积
相等,得到一条等式就可证明
(a + b)* (a + b) / 2=a * b + c * c / 2
(a * a + b * b + 2ab) / 2=ab + c * c
a*a / 2+b*b / 2+ab=ab+c*c
即可证明
WWw.Jizh。UBA.cOm
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